OdagiriJの平方根マスター

平方根は、根号の中をできるだけ小さくすることと、分母に根号を残さないことの2つが基本です。

1. 平方根とは

2乗して a になる数を a の平方根といいます。正の数の平方根は正と負の2つあります。

例題　9 の平方根を答えなさい。

答え　3 と −3

つまずきやすい点：「9の平方根」は2つですが、√9 と書いたときは正のほう（3）だけを指します。この違いはよく問われます。

2. 根号の中を簡単にする

例題　√12 を簡単にしなさい。

1. 12 を 4 × 3 のように、2乗の数×残り に分けます。
2. 2乗の数は根号の外へ出せます。

答え　2√3

まずこの形に直しておくと、あとの計算がすべて楽になります。

3. 乗法・除法

根号どうしは、中身をそのままかけたりわったりできます。

例題　√2 × √6

中身をかけて √12、簡単にして 2√3。

4. 加法・減法は同類項と同じ

根号の中が同じものだけ、まとめられます。

例題　√18 + √8

1. それぞれ簡単にします：3√2、2√2。
2. 中身がそろったのでまとめます。

答え　5√2

つまずきやすい点：√2 + √3 を √5 としてはいけません。たし算では中身をたせません。

5. 分母の有理化

例題　3/√2 の分母を有理化しなさい。

分母と分子に同じ √2 をかけます。

答え　3√2 / 2

6. 乗法公式を使う計算

例題　(√5 + √2)(√5 − √2)

(x + a)(x − a) = x² − a² の形なので、5 − 2。

答え　3

根号の計算では、この公式で根号がきれいに消えることがよくあります。

7. 大小の比べ方

どちらが大きいか迷ったら、2乗して比べます。2√3 と 3√2 なら、2乗して 12 と 18 を比べればわかります。

（大小をくらべる問題は、このアプリでは扱っていません。テストにはよく出るので、 この「2乗して比べる」だけ覚えておいてください。）

8. 小数部分を a とおく問題

√2 のような数は、整数部分と小数部分に分けられます。 √2＝1.41… なので、整数部分は 1、小数部分は √2−1 です。この （もとの数）−（整数部分） が小数部分の作り方です。

整数部分は、はさみうちで出します。 √1＜√2＜√4、つまり 1＜√2＜2 なので整数部分は 1。 √15 なら √9＜√15＜√16 で 3 と 4 の間、整数部分は 3 です。

例題　√2 の小数部分を a とするとき、 a(a+3) の値を求めなさい。

1. 整数部分は 1 なので a＝√2−1。
2. 代入して (√2−1)(√2−1+3)＝(√2−1)(√2+2)。
3. 展開して 2＋2√2−√2−2＝√2。

答え　√2

つまずきやすい点：かっこの中を先に計算せずに展開しようとすると、こんがらがります。 代入したら、まず −1＋3＝2 のようにかっこの中を整理してから展開してください。

上のアプリでは、これらの計算を手順を1つずつ確認しながら練習できます。